図形の証明での間接証明の利用 次の問題は見かけは簡単ですが，なかなかの難問です．ここではいろいろな解答を考えましょう． 問題 正方形ＡＢＣＤがある．底辺ＢＣの両底角が１５°の二等辺三角形ＰＢＣが図のように正方形の内部に 描いたとき，△ＡＰＤは正三角形であることを証明せよ．

見かけは簡単ですが，思ったより面倒です．皆さんも自分で考えましょう．ここでは ４つの証明を行います．直接証明が４つ，間接証明が２つです．たくさんの方法で証明しますが， 間接証明に注目してください． 証明１ △ＱＣＤ≡△ＰＢＣである△ＱＣＤを図のように作ります．△ＰＣＱは正三角形ですから， 線分ＰＣの中点をＭとすると， ∠ＭＱＣ＝３０°，∠ＣＱＤ＝１５０° したがって，３点Ｍ，Ｑ，Ｄは一直線上にある．したがって，ＤＱは線分ＰＣの 垂直２等分線よりＤＰ＝ＤＣ． ＡＰ＝ＡＢは同様です．

証明２ Ｃの周りに３０°回転する回転移動をＳ，Ｂの周りに３０°回転する回転移動をＴとすると Ｔ：Ｄ→Ｑ，Ｓ：Ｑ→Ａ より Ｓ○Ｔ：Ｄ→Ａ 一方Ｓ○Ｔは Ｐに関する６０°の回転移動 である． したがって，△ＰＤＡは正三角形である．

証明３ 正方形ＡＢＣＤの下側に，正三角形ＢＥＣを書く． ＰＥ＝ＰＣ，ＥＢ＝ＥＣより△ＥＢＰ≡△ＥＣＰ． ∠ＥＢＰ＝７５°，∠ＢＥＰ＝３０°より ∠ＥＰＢ＝７５°．∴ＰＥ＝ＢＥ＝ＡＢ および∠ＥＰＢ＝ＡＢＰよりＡＢ‖ＰＥ したがって四角形ＡＢＥＰは平行四辺形 ∴ＡＰ＝ＢＥ＝ＢＣ 同様に，ＤＰ＝ＢＣ 証明４ 座標を導入します．ＢＣをｘ軸，ＡＢをｙ軸とし，ＢＣ＝２とします． Ｐ（１，tan１５°)よりtan１５°を計算しＡＰを求める． もちろん，三角比でＢＰをもとめ，ＡＰを計算しても良い． この方法で解いて見ましょう． AP^2=AB^2+BP^2-2AB・BP・cos75° AB=2とする． BP=1/cos15° より AB^2=4+1/(cos15°)^2-4tan15° ここで 1/(cos15°)^2-4tan15°=1+(tan15°)^2-4tan15°・・・�@ (tan15°)^2=(1-cos30°)/(1+cos30°)=(2-√３)^2 より�@=0が分かる． 以上いろいろな証明を紹介しました．数学は，数学的なものの考え方をまなぶ学ぶところにあります． ここで紹介している証明はどれもすばらしいものです． 時間をかけて学んで欲しいとおもいます． 次の２つは間接証明です． 証明５ 　Ｐが条件を満たすのにＡＰ≠ＡＤとし矛盾を示します． もしＡＰ＞ＡＤと仮定します． 仮定より△ＡＢＰ≡△ＤＣＰですから ＡＰ＞ＡＤ＝ＡＢとなります． このとき ∠ＡＰＢ＝∠ＤＰＣ＜７５°　∴∠ＡＰＤ＞６０°・・・�@ 一方 ∠ＰＡＤ＝ＰＤＡ＜６０°・・�A �@，�AよりＡＰ＜ＡＤ．よって矛盾． したがってＡＰ＞ＡＤが成り立たない．ＡＰ＜ＡＤも同様に 示せるので結局ＡＰ＝ＡＤである． ＤＰ＝ＤＡも同様である． 証明６ Ｐはただ一つ存在します．実際，Ｂを通りＢＣと１５°をなす直線と，Ｃを通り ＣＢと１５°をなす直線の交点であるから点Ｐはただ一つ存在する． 一方，△ＡＰＤが正三角形になるように点Ｐを定めれば，△ＰＢＣは∠Ｂ＝∠Ｃ＝１５° の二等辺三角形である． すなわち，点Ｐがただ一つ存在し，△ＡＰＤが正三角形のとき条件を満たすから，△ＡＰＤは 正三角形である．

証明５を背理法，証明６を同一法といいます． 目次